缓和曲线各种迭代算法及比较<2>

冕宁测量工程师

曲线元实例计算比较

某实际工程中，有一不完整缓和曲线段，A点桩号K0+271.881，半径R=75，B点桩号K0+223.715，半径50。曲线间长48.166。A点切线方位如图。

1）、以A为起点，计算终点B相对于A的坐标增量

1.1）、利用复化辛普森公式计算如下（取n=2）：

ΔX= 48.166÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)

+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”)

=30.15953726

ΔY= 48.166÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”)

+2sin50°42’26.37”+ sins25°24’35.99”)

=35.89054225

1.2)利用高斯-勒让德5节点求积公式

为简便计算，对参数进行先赋值：

71°24’18.5”->F
,起点方位

-75->R
，起点半径（左偏为-，右偏为+）

-50->M
，.终点半径

48.166->H
,曲线全长

48.166->W
,计算点距起点长

以下是节点系数赋值

0.1184634425->A

0.2393143352->B

1/R->C

(R-M)/(2*RMH)->D

180/π->E

0.2844444444->G

0.046910077->K

0.2307653449->L

ΔX= W(Acos (F+EKW(C+KWD))+Bcos (F+ELW(C+LWD))+

Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD))+Bcos (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD))+

Acos (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)))

=30.16036838

ΔY= W(Asin (F+EKW(C+KWD))+Bsin(F+ELW(C+LWD))+

Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD))+Bsin (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD))+

Asin (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)))

=35.88959598

1.3) 变步长辛普森迭代求积法

按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：

QiDianFangWei=71°24’18.5”

QiDianBanJin=-75

ZhongDianBanJin=-50

HHQX Chang=48.166

JiSuanChang=48.166

计算结果：

ΔX=30.16036819，迭代次数31次

ΔY=35.88959622，迭代次数31次

1.4）高斯-勒让德迭代求积法

按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：

QiDianFangWei=71°24’18.5”

QiDianBanJin=-75

ZhongDianBanJin=-50

HHQX Chang=48.166

JiSuanChang=48.166

计算结果：

ΔX=30.16036839，迭代次数15次

ΔY=35.88959599，迭代次数15次

1.5）利用内置的积分计算

内置积分公式的精度为0.00001，计算结果为：

ΔX=∫(cos (71°24’18.5”+(1÷(-75)X+(-1÷50+1÷75)X2/48.166÷2×180/π),0,48.166)

=30.16036839

ΔX=∫(sin (71°24’18.5”+(1÷(-75)X+(-1÷50+1÷75)X2/48.166÷2×180/π),0,48.166)

=35.88959599

2，有一完整回旋线，起点切线方位为0，终点半径200，缓和曲经长20000。计算终点相对起点的坐标增量。其形状如下

2.1）、利用复化辛普森公式计算如下（取n=2）：

距起点5000处方位角：1/20000*50002/（2*20000）*180/π=1°47’25.78”

距起点10000处方位角：1/20000*100002/（2*20000）*180/π=7°09’43.1”

距起点15000处方位角：1/20000*150002/（2*20000）*180/π=16°06’51.98”

距起点20000处方位角：1/20000*200002/（2*20000）*180/π=28°38’52.4”

ΔX= 20000÷2÷6×(cos0+4(cos7°09’43.1”+cos28°38’52.4”)

+2cos16°06’51.98”+ cos28°38’52.4”)

=18796.86999

ΔY= 20000÷2÷6×(sin0+4(sin7°09’43.1”+sin28°38’52.4”)

+2sin16°06’51.98”+ sin28°38’52.4”)

=5751.566798

2.2)利用高斯-勒让德5节点求积公式

为简便计算，对参数进行先赋值：

0->F
,起点方位

1E45->R
,以1045代替无究大计算

200->M
，终点半径

20000->H
,曲线全长

20000->W
,计算点距起点长

节点系数和公式不变，计算结果为：

ΔX=2878.253465

ΔY=-175.4724871

1.3) 变步长辛普森迭代求积法

按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：

QiDianFangWei=0

QiDianBanJin=0

ZhongDianBanJin=200

HHQX Chang=20000

JiSuanChang=20000

计算结果：

ΔX=1718.067513，迭代次数4095次

ΔY=1580.04231，迭代次数4095次

2.4）高斯-勒让德迭代求积法

按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：

QiDianFangWei=0

QiDianBanJin=0

ZhongDianBanJin=200

HHQX Chang=20000

JiSuanChang=20000

计算结果：

ΔX=1717.99522，迭代次数600次

ΔY=1580.042596，迭代次数765次

2.5）利用内置的积分计算

内置积分公式的精度为0.00001，计算结果为：

ΔX=∫(cos (0+（1÷200)X2÷（20000×2）×180/π),0,20000)

=1718.067513

ΔY=∫(sin (0+（1÷200)X2÷（20000×2）×180/π),0,20000)

=1580.04231

该示例精确值为：

ΔX=1718.067512949

ΔY=1580.042309965

例1)中：

几种计算方法都可以较好的处理回旋线的计算。复化辛普森（2节点）的精度最低，一般计算时要适当的增加节点个数。高斯-勒让德迭代求积法的迭代次数明显的少于变步长辛普森迭代求积法。9860中内置的积分公式采用高斯求积法，区别于以前的CASIO系列中采用的辛普森求积法，也有较高的精度。

例2）中:

由于使用了比较极端的参数，直接使用复化辛普森（2节点）和高斯-勒让德（5节点）都得到了错误的计算值，和变步长辛普森迭代求积法相比较，高斯-勒让德迭代求积法误差也较大，这是由于采用5节点来计算，该公式及系数本身有误差，导至计算误差较大，而变步长辛普森迭代求积法利用结果来进行迭代精度比较，因而可以获得较高的精度,但迭代次数多，适合在计算机上进行。9860中内置的积分在两种情况下都获得了较高的计算精度。

实际计算中，选用什么方法要由实际问题来决定，一般工程中计算采用高斯-勒让德5节点可以取得精度和计算速度上的平衡[2]。9860内置积分公式，过程简单，精度高，建议采用内置的积分公式直接计算，有特殊情况时为获得高精度可采用变步长辛普森迭代求积法来进行计算或是互相校验。

冕宁测量工程师

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